ガリレイ変換からローレンツ変換へ
初めにひとこと
はっきりいってわかりにくいよ。
読み返してみて
じぶんの理解の足りなさが
嫌になるほどわかるもんだね。
理論の内容がわかりにくいんじゃなくて
ぼくのなまかじりの説明がわかりにくいんだ。
だからまたまた謝っておきますね。
「ごめんなさい」
とにかく書き出してみよう。
アルファベットとか記号が出てくるけど
いちいち固有名詞や数字を書くのが面倒くさいだけなので
いちいち気にする必要はないってことで。
まず横軸と縦軸が直交している
いつものグラフを考えてみるよ。
そしてこれもややこしくならないために
本来なら四つに区切られている
グラフの右上だけを考えることにする。
（原点を０としてそこから
右と上だけを考えるってこと。
ようは右も上もプラスの数字しか
出てこないってことだね）
四次元を考えるんだから
横軸をｘ（三次元の物理量ってことで）
縦軸をｔ(timeの頭文字、時間だよ)
ってことにしよう。
横軸ｘは単純に横方向だけの
長さを表しているんじゃなくて
縦・横・高さの三次元情報が
詰まっているってことを忘れないでね。
ガリレイ変換では
相対速度のある系
（駅でベンチに座っているぼくと
電車に乗っているあなただよ）
の変換の仕方は
x’=(x−vt)
t’=t
x は駅にいるぼくからある点（前は富士山にしていたね）までの距離
x’ は電車のあなたからある点までの距離
t はぼくにとっての時間経過
t’ はあなたにとっての時間経過
v 電車の速度だね
これが光の速度が一定だとすると
少しおかしくなってくるっていうのが
相対論の真骨頂。
（相対速度のある系どうしでは
時間も長さも変わっちゃう）
だからこのガリレイ変換の時間・空間に
係数をいれて一般化する必要があるってことだ。
ガリレイ変換をもう一度書き直すと
x’=A(x−vt) （但しA=1）
t’=Bx+Dt （但しB=0,D=1）
A・B・Dは係数
ここまで書いているから
ローレンツ因子が絡んでくることは
わかっていると思うけど
今のところは何かの係数ってことにしておこう。
もうひとつ
A・Bから急にDに飛ぶけど
これはCを入れると
光速を表すｃとごっちゃになりそうだから
ってことで。
四次元空間での二点間の距離
ここでもうひとつ
時間を含めた事象の隔たり
（事象ってわかりにくいかも
時間も含めた点と点の距離
まあ４次元にまたがる棒の長さ
ってことでいいかも。
もっともよりわかりにくいかもしれないけどね）
ってものを考えてみるね。
また頭の中で想像してみて。
相対速度差のある
二つの慣性系を考えてみよう。
（仮にＱっていう慣性系と
Ｒっていう慣性系ってことにしておく）
時刻０においてＱとＲは同じ場所にいたってことする。
今回Qを中心（静止系）ってことにして
ＲはＱに対して相対速度（v)で動いているってことにする。
（Qが駅にいる人でRが電車の人ってことなんだけどね）
ちょうどＱとＲの原点が一致していたとき
（時刻が０で同じ場所にいたとき）
両慣性系が同じ方向に光を発射したとしようよ。
Ｑにとって(t1)の時間が経過したとき
Ｒでは(t2)の時間が経過したとする。
（相対速度を持つ慣性系だと時間の進み方が違うもんね）
Ｑにとって光は(ct1)の距離を進むよね
そしてＲでは、光は(ct2)の距離を進むってことになる。
その時の光の到達点を考えてみよう。
時間を考慮した4次元の座標は
慣性系Ｑ：点Ａ(x1,y1,z1,t1)
慣性系Ｒ：点Ｂ(x2,y2,z2,t2)
ってことでいいよね。
でもさっきx・y・zをまとめたものをｘ軸方面に
まとめるってことにしてたんだから
点Ａ(x1,t1)
点Ｂ(x2,t2)
って書くことにしよう。
あたまがごちゃごちゃになって来たでしょう。
まだ続くから覚悟しておいてね。
ひとまず時間を含めないで
距離だけを考えたときの
原点から光の到達点までの長さを
おなじみのピタゴラスの定理を使って
考えてみることにするよ。
原点と点Ａとの空間的距離の２乗は
(x1－0)2 （ちゃんと書くと(x1−0)2+(y1−0)2+(z1−0)2ってことだね）
すなわちｘ12
ってことになるね。
同じように原点と点Ｂとの空間的距離の２乗は、
x22
になる。
このあたりから
どことなくごまかされているような
気がする数式が出てくるけど
なんとか後から説明できると思うから
サラッと流しておいてほしいんだけど
点Ａ、点Ｂは共に原点から光が走った距離ってことでしょ。
だから
ｘ12=(ct1)2 (1)
x22=(ct2)2 (2)
って書き直すことができるよね。
ここで(2)から(1)を引いてみるとするよ。
という式が出てくるわけだ。
これで時間を含んだ
縦・横・高さ・時間の座標の中での
点Aと点Bとの距離になる って
納得できるかな？
四次元空間での不変量
なんとなくうまく言いくるめられているような
そんな気にさせられる解説が
相対性理論を調べていると
出てくるんだよな。
もっとも量子力学でもそんな気にさせられたところも
多々あったけど。
ひとまず疑問は
後で解決することにして
一応四次元空間での不変量ってものの
結論だけまとめてみようか。
三次元空間での不変量（棒の長さだね）を
以前Lで表示したと思うけど
四次元空間での不変量を
今回はSってことにしてみよう。
三次元ピタゴラス定理で求められた
Lと各軸のx・y・zの数値との関係は
x2+y2+z2=L2
だったよね。
ここにｔを落とし込んで
Ｓを求めればいいわけだ。
このx・y・zをまとめて
x軸に落とし込んで
出て来た結論が先ほど書いた
この(x2－x1)2（三次元不変量Lの二乗）
と(ct2－ct1)2
をどうやってＳに落とし込んだらいいんだろう。
四次元空間では
時間を含めた事象の隔たり
（棒の端と端だね）が
不変量になるんだろうってことは
想像できる。
となれば
(x2−x1)2から(ct2−ct1)2を
引いたものこそがS2となる。
Lの二乗と時間の二乗を組み合わせたもの
すなわち
(x2−x1)2+(y2−y1) 2+(z2−z1)2−(ct2−ct1)2=S2
となる。
って書いてあるんだけどな……
「四次元空間では時間を含めた
事象の隔たりが不変量になる」
ってところだけは認めてもいいんだけどね。
