不変量
『不変量』ってなんだ？
どこへ持って行っても変わらない長さ
なんてことを前回書いたんだけど
じっさいのところ
実感としては
それがなにを指すものなのか
わかっていないんだよな。
イメージはあるんだよ。
今手元に棒がある。
その長さっていうのは
どこへ持って行っても
変わらない。
そんなの当り前じゃない って。
理論物理学だと
「不変量はある変換の下で変化しない系の性質である」
（ウィキペディアの丸写し）
と書いてある。
はて、何のことだ？
変換の下っていうのは
数学的な意味ではって条件付きで
「点を他の点に移したり
式を他の式に変えたり
座標を取り替えたりすること」
（同じく丸写し）
って書いてある？？？
たぶんすごくきっちりとした
定義があるんだろうけど
ぼくの頭では
ついていけないんだよね。
「変換の下で変化しない系」
っていうのがみそだと思うんだけど。
変換っていうのが
座標を取り替えたり
他の式に取り換える
なんてことだとすると
図表上の座標を変えたり
（点の位置を変えたりもだね）しても
変わらないものが
『不変量』ってことになるんだろうけど。
だから三次元図表上の
棒の長さが不変量だっていうのは
『図表上』っていう条件では
正しいんだと思うよ。
だけど現実（この現実っていうのもあやふやだけど）の
棒の長さは
特殊相対性理論によって
『不変量』じゃないってことに
なっちゃったわけだ。
だから『現実』の上での
棒の長さを不変量で表すには
どうすればいいのかっていうのが
問題になって来たんだよね。
四次元の図表が想像できない
『図表上』の棒の長さと
『現実』の棒の長さとは
なにが違うんだろう？
あるとすれば
『時間』っていう成分なんだろうけど。
よく言われるけど
アインシュタインさんが
根底に据えていたのが
縦・横・高さっていう
三次元の長さってものと
時間というものを
同列に並べようとしたってことらしい。
考えてみれば
量子力学のときにも
光ってものは
観測すれば粒子に
でも実体は波なんて
わけのわからない定義がされていたけど
もしかするとこれは
観測した時点で
図表上の不変量になるってことに通じるのかもしれないな。
（あくまでもぼくが今思いついただけだけど）
そうはいっても
三次元のX・Y・Z軸の考えかただけでも
あたまの中で思い描くのが
困難なのに
その上そこにもう一本の
直交座標
（仮にW座標ってしておこうか）
を組み入れるのなんて
ぼくには無理な相談。
ぎりぎりX・Y座標までで
手一杯ってとこなんだ。
ではどうしたらいいのか？
実は意外と簡単に糸口ってあるんだよね。
ここまでグダグダと書いてきた
ピタゴラスの定理。
二点間の距離
（a,b間の距離 仮にLとするね）をX軸とY軸だけで
考えるなら
一次元なら簡単
点a,bはX軸上にいるわけだから
X軸上は(Xb-Xa)
Y軸上は（b=0,a=0）なんだから
a,b間の距離は
Xb-Xaだよね。
これってもう一つの書き方をすると
(Xb-Xa)2+(Yb-Ya)2
＝(Xb-Xa)2+(Y0-Y0)2
＝(Xb-Xa)2
＝L2
ってことになる。
二次元なら
X軸上は(Xb-Xa)
Y軸上は(Yb-Ya)なんだから
a,b間の距離 Lは
例のピタゴラスの定理を使うと
(Xb-Xa)2+(Yb-Ya)2
＝L2
になるよね。
三次元ピタゴラス定理から四次元へ
さて続いて三次元に行ってみよう。
点a,bの距離は
X軸上は(Xb-Xa)
Y軸上は(Yb-Ya)
Z軸上は(Zb-Za)
だからその距離は
(Xb-Xa)2+(Yb-Ya)2+(Zb-Za)2
＝L2
ってことになっている。
前に書いた時には
X1、X2で今度はXa、Xb
と書いちゃったけど
気にしないで
言いたいことは同じだから。
このX、Y、Zの直交軸ってのが
ぼくにはソイメージしにくいもんだよ。
だからX、Y軸だけで
まず点ab間の距離を出す。
次にX、Z軸での
ab間の距離を出す。
続いてY、Z間の距離を出す。
それをそれぞれに
ピタゴラス定理で距離を算出していくと
二次元の計算で
三次元のa,b間の距離が出てくるってことになりそう。
手間はかかるよ。
でもぼくがしようとしているのは
実用の数値計算じゃなくて
だいたいの考え方を
掴みたいってこと。
ぼくの頭がついていける
二次元の図表で三次元を表したいってことだから
大体でいいと思うんだ。
極端なことを言えば
X軸に平面図（縦と横の平面）を置いて
Y軸で高さを表すってことで
理屈はつかめるんじゃないのかな
って思っているわけなんだよ。
これってなんとなく
感覚でつかめそうな気がしない？
だったら
もし可能なら三次元の状態を
一塊のものとして
X軸に書き込んだらどうだろう。
X軸上の点aを確定するためには
最低三重の計算がいるだろうけど
そんなものはコンピュータに任せれば
すぐにできるじゃない。
だからぼくたちの目に写る
まわりの景色を
一次元に落とし込んで
X軸上に書き込むって
それほどおかしなことじゃないと思うけどな。
それができたら
Y軸に時間が置けると思わない？
