加速系・重力系
特殊相対性理論が
光速度不変の原理と特殊相対性原理の
ふたつの仮定から組み立てられたっていうのは
ほぼわかったように思うよね。
一般相対性理論はこれまた
ふたつの仮定から出来上がっている。
等価原理と一般相対性原理。
等価原理っていうのは
加速系と重力系は区別できないっていうのだね。
一般相対性原理っていうのは
どのような運動をしている物体にとっても
物理法則は同じだっていうもの。
特殊相対性理論の時と同じだけど
このふたつだけで
一般相対性理論はわかる（はず）ってことに
なっている。
ここで一般相対性原理のほうを
考えてみよう。
さっきから書いているボールの動き方を
考えればわかると思うんだけど
慣性系にある物体と
非慣性系にある物体とでは
物体の動きが変わってくるんだよ。
もし慣性系と非慣性系のどちらでも
物理法則（この場合は力学法則かもしれないけど）が
同じだとすれば
非慣性系（加速系かな）では
なにか慣性系にない力が
働いているってことになるよね。
力っていうのは
質量×加速度で表せられる。
F=ma
（F）は力、（m）は質量、（a）は加速度ってこと。
この式を考えてみれば
力（F）が質量（ｍ）を持つ物体に加速度（a）の
速度変化を与えるってことになるよね。
もし加速度(a)が0だったら
当然力（F）も0になるから
この物体のいる場所は慣性系って
ことになるんだ。
だから慣性系っていうのは
加速度0だっていう特殊な加速系だって
言い換えることも
できるのかもしれないってこと。
一般相対性理論の
一般相対性原理の示している物理法則っていうのは
その系にある物体に力が働いている時には
その系は加速系もしくは重力系に
いるってことを言っているそうなんだ。
一般相対性理論の解
訳の分からないことを書いてみよう。
等価原理と一般相対性原理を前提とした
一般相対性理論の結論として
ふたつの結論をアインシュタインさんは導き出した。
『測地線の方程式』
d2xμ/ds2=−(Γαβμ)(dxα/ds)(dxβ/ds)
Rμν−1/2gμνR=(8πG/c4)(Tμν)
この２方程式の解が一般相対論の結果である。
とまあ、そう書いてあるんだよね。
これをぼくにわかれっていうほうが
無理だと思うんだけどな。
はっきり言ってまるでなんのことだかわからない。
（胸を張ることじゃないけどね）
一部わかったことっていえば
『測地線の方程式』っていうのは
宇宙時空間の最短距離の方程式だっていうのと
『重力場の方程式』っていうのが
質量が空間を曲げる量に関する方程式のことだってことぐらいかな。
言っておくけど
言葉の定義がなんとなくわかったっていうだけで
そのことばがなにを意味しているのかというところは
わかっていないんだからあしからず。
最短距離って？
質量が空間を曲げる？
さてなんのことやら。
このわけのわからない数式は
『連立偏微分非線形方程式』って
いわれるものらしい。
これがテンソル解析という
微分幾何学というものらしいんだけど
ぼくにわかれっていうほうが
おかしいかもしれない。
もちろん全然ついていけていないんだ。
そしてこの一般相対性理論の結論を
導き出すのに使われる数学として
アインシュタインさんが持ち出したのが
『リーマン幾何学』だったってこと。
そして『リーマン幾何学』を理解するためには
『テンソル解析』が不可欠になる。
ってこれを理解するって
無茶な話だと思わない？
リーマン幾何学
無茶な話を無茶だからスルーしておこうっていうのは
どうにも後味が良くないよね。
だからといって
このあたりに関しては
はっきり言ってぼくの手に余るんだよな。
だから表面だけサラッと流してみようと思うんだ。
気が向いたら調べてみてね。
リーマン幾何学っていうのは
リーマンさんというドイツの数学者の
名前から出てきている幾何学だそうだ。
リーマン幾何学って当時の人々には
ほとんど相手にされていなかったらしいよ。
理論的におかしいとかいう理由じゃなくって
複雑かつその表す事象が
ほとんど当時では役に立たなかったからだってことだそうだ。
それを発掘したのが
アインシュタインさんってことだね。
何度も書いているけど
アインシュタインさんは
幾何学で物理現象を表そうとしていたところがある。
特殊相対性理論で
いちばんよく出て来た
ピタゴラス定理もそうだし
空間に時間を加えた全体図を
書こうとしていたみたいなんだ。
で、特殊相対性理論では
ユークリッド幾何学で
理論全体の説明をしたってことだね。
慣性系どうしの間の比較では
それだけで十分だったってことだろう。
だけど一般相対性理論になると
慣性系と非慣性系（加速系もしくは重力系）を
比較検討していくには
ユークリッド幾何学では
どうにもおいつかなくなった
だから、新たな幾何学を
探す必要があったってことじゃないのかな。
雑なはなしで申し訳ないけど
ユークリッド幾何学で
（ぼくたちが幾何学だって考えているもの）
たとえば三角形の内角の和はって聞かれたら
二直角（１８０度）ってことが
正解だよね。
でもこれって平面状だから成立するだけなんだよ。
たとえば地球上で
赤道の一部を底辺として
北極（南極でもいいけど）を頂点とする
三角形を考えてみようよ。
すごくわかりにくいかもしれないけど
底辺が作る二つの角だけで
二直角になっちゃうんだよね。
この時の頂点の角度は
リーマン幾何学だと
０度～３６０度になるってことなんだけど……
ようはリーマン幾何学は
曲がった空間を考えるものだってこと。
そのなかの平らな空間のみを
扱う幾何学がユークリッド幾何学だってこと。
そしてその曲がった空間の中を表すのには
テンソル解析が必要になるってことだね。
わかりやすい例で言えば
航空機の航路を考えてみてよ。
たとえば日本からアメリカへの航路は
地図上で見れば曲がって書かれているように見えるよね。
でもあれを地球儀の上に書き換えると
じつは最短ルートになっているんだよ。
アインシュタインさんは
一般相対性理論を説明するための
数学を探し求めて
たどり着いたのがリーマン幾何学だったってことだね。
