ローレンツ変換の意味
長々とローレンツ変換のことを
書いちゃった。
再読してみても
すっきりと納得できるのか？ って
言われれば
素直に『yes』と言えないところが
辛いんだけどね。
書いているほうが
納得できないんだから
読んでる人が納得できるわけがない
っていうのは当たり前のことだね。
ただここまでの数式に
おかしいところは無かったっていうのも
確かなんだけどな。
これはたぶんぼくの
数学知識が不足しているからなんだ
ということにしておこう。
じっさいぼくの目的は
相対論を何かに生かそうとか
物理学を追究しようなんて
おこがましいもんじゃなくて
だいたいの『感じ』ってものが
掴めればいいかな ってことなんだから
細かい数字は
無視しておいて良しとして欲しいんだ。
だからすごく単純に
x′=γ(x−βw) (1)
w′=γ(−βx+w) (2)
（γはローレンツ因子 ｗは(ct) βは(c/v)）
てことだけを
そんなもんだよって考えていたら
いいってことにしよう。
さあいよいよ上に書いた(1)(2)式から
四次元での『不変量』
ってものに挑戦することになるんだけど
その前にすこし脱線してもいいかな。
この部分は雑学に書いていいのかどうか
わからないし
ぼくの無知からくる
思い込みってことだろうとは思うよ。
ただいつも言うように
文系バリバリのぼくにしてみたら
どことなくすっきりしない部分が
物理学っていうものには
あるんだよな。
もっともなにひとつ世の中で言われる
『エビデンス』ってもののない
ぼくの独り言だから
飛ばしてもらって
良いと思うんだけどね。
物理学
「物理学とは人間が認識しうる自然現象を研究する学問である」
って 前に書いたと思うんだけど
言い換えれば
目の前にある物事を
説明する学問ってことだね。
だから人間が認識できないものは
『無いことにする』ってことかもしれない。
このあたりが
『数学』や『哲学』なんかと違うところかな。
数学も哲学も一部では
『神』に挑戦する学問なんて
言われているくらい
論理さえ通っていれば
それこそ『エビデンス』なんてものが
無くても正解のひとつと
されるんだからね。
なぜこんなことを書くのかというと
これから相対論の座標変換から
四元物理量、不変量を
書いていこうとしているんだけど
どうしても『因果律』ってものが
出てきてしまうんだ。
『因果律』って
哲学で言えば
原因があるから結果があるんだよっていう
シンプルなひとつの考え方。
でも、物理学だとそれぞれに
捉えられ方が
違ってしまうんだよね。
古典物理学では
この因果の関係（原因と結果だね）が
最重要とされている。
その因果律を見つけることが
主目的と言ってもいいんじゃないかな。
量子力学では
たしかにこの因果の関係を
重要視はするけど
原因と結果の間に確率を
入れちゃうもんだから
原因から確定した結果は
導き出せないってことに
なってしまう。
どちらにしても
物理学では因果律ってものが
重要になってくるみたいだね。
哲学では因果律ってものが
根本にはあるけれども
あくまでも一つの指針とする
考え方をしているような気がするんだけどな。
相対論でももちろん
因果律ってものが
中心に据えられる。
光の速度がどの慣性系から
観測しても変化しないという条件の下で
（これは現実世界で観測されているものだから当然だよね）
因果律を構成してるってことだね。
そして古典物理も
量子力学も
もちろん相対論も
もうひとつの前提を
因果律として持っているんだ。
あまりにも当たり前なんだけど
でもまだぼくの知る限り
まだ実験・観測の結果として
出ていないもの。
（じつは実験結果が出ているのかもしれないけど）
時間は一方向にしか
進んでいないっていう因果律を。
不変量を求めてみよう
馬鹿なことを書いていないで
話を進めていこう
x′=γ(x−βw) (1)
w′=γ(−βx+w) (2)
とにかくここまで何とかたどり着いているわけだ。
γはローレンツ因子
βはc/v
wはct だよ。
ここから書いていくのは数式だから
気になるひとだけ読んだらいいと思うな。
けっきょく最後の結論だけ
読めばいいんだから。
（1）式のx’と(2)式のw’を二乗してみようよ。
（またもやピタゴラス定理の始まりだね）
x′2=γ2(x2−2βwx+β2w2) (1′)
w′2=γ2(β2x2−2βwx+w2) (2′)
さあここから騙されないようにね。
ここで(1’)式から(2’)式を引くと
2βwxが相殺されるから
x′2－w′2=γ2((1－β2)x2－(1－β2)w2)
ってことになる。
ところが(1－β2)っていうのは
前に書いたローレンツ変換の定義から
1/γ2ってことだからγも約分されるんだよな。
だから
x′2－w′2=x2－w2 (3)
って式が出てくるんだ。
これってｘ・ｗで表される
静止（ぼくを中心とした）座標の値と
(x’)・(w’)で表される
相対速度を持った慣性系の座標の値の
等価数値が出るってことになるでしょう。
この関係性が四次元での不変量を
（Sって表していたんだけど）
導き出すってことだね。
もうすこしちゃんと書くと
ｘ軸には三次元の物理量ｘ・ｙ・ｚがあったのと
ｗっていうのがctっていうのを追加で書くと
x′2+y′2+z′2−(ct′)2=x2+y2+z2−(ct)2=S2 (Sは普遍量)
っていう式が出てくるんだよ。
ね、四次元のピタゴラス定理を使って
四次元の不変量がみちびきだせるでしょ。
って無理やり落ちを付けた
だけなんだけどね。
（なんか『？』が飛び回っているけど）
